Question

（2009•杨浦区一模）（理）已知函数f(x)=2sinωxcosωx-2

3

cos2ωx+1+

3

(x∈R，ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求三角函数的周期要先对函数的解析式进行化简，再由公式T=

2π

ω

建立方程求出参数的值；
（2）由（1）f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，令其相位满足2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x的取值范围，即可得到所求的单调增区间；
（3）先解出函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最值，由绝对值不等式的性质转化出关于m的不等式，解出其范围即可

解答：解：（理）（1）f(x)=-2

3

(

1+cos2ωx

2

)+sin2ωx+1+

3

----（2分）
=sin2ωx-

3

cos2ωx+1=2sin(2ωx-

π

3

)+1-------（3分）
由题设可得，

2π

2ω

=π，所以ω=1．---------------------------（4分）
（2）由（1）得 f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，由题意
则有 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）------------（7分）
即  kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）
故 单调增区间为[ ，（k∈Z）----（10分）
（3）∵f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)．又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，------------------------------------------（11分）
即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，----------------------------------（13分）
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]，---------------------（14分）
∴m＞f（x）_max-2，m＜f（x）_min+2，∴1＜m＜4，
即m的取值范围是（1，4）．---------------------------------------（16分）

点评：本题以三角函数为背景考查函数恒成立的问题，函数恒成立的问题是函数中一类难度较高的题型，解答此类题关键是对问题正确转化，此类题一般是求参数范围的题，将恒成立的关系转化为参数所满足的不等式或方程是常规思路，本题考查了转化的思想，方程的思想，变形的能力，推理论证的能力，综合性较强