Question

17．某次学竞赛分初试和复试两个阶段，某校甲、乙两个班分别有两名同学参加了初试，假设四位同学能进人复试的概率都是0.8，四名同学进人复试后获奖的概率都是0.7，每位同学是否能迸人复试或是否能获奖相互独立．（结果保留三位小数）
（I）求甲、乙两个班获奖的人数相等的概率；
（Ⅱ）X表示两个班获奖人数的差的绝对值，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知四位同学能获奖的概率都是0.56，由此能求出甲、乙两个班获奖的人数相等的概率．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵四位同学能进人复试的概率都是0.8，四名同学进人复试后获奖的概率都是0.7，
∴四位同学能获奖的概率都是：0.8×0.7=0.56，
∴甲、乙两个班获奖的人数相等的概率：
P=（1-0.56）²•（1-0.56）²+${C}_{2}^{1}$0.56（1-0.56）×${C}_{2}^{1}$0.56（1-0.56）+0.56²•0.56²=0.37867776．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=0.37867776，
P（X=1）=2×${C}_{2}^{1}$（1-0.56）²×0.56（1-0.56）+2×${C}_{2}^{1}$0.56（1-0.56）•0.56²=0.49989632，
P（X=2）=2×（1-0.56）²×0.56²=0.12142592，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	0.37867776	0.49989632	0.1242952

EX=0×0.3786776+1×0.49989832+2×0.1242952=0.74274816．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．