Question

【题目】在如图所示的圆柱O1O2中，等腰梯形ABCD内接于下底面圆O1 ， AB∥CD，且AB为圆O1的直径，EA和FC都是圆柱O1O2的母线，M为线段EF的中点．
（1）求证：MO1∥平面BCF；
（2）已知BC=1，∠ABC=60°，且直线AF与平面ABC所成的角为30°，求平面MAB与平面EAD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，取BC的中点N，连接FN，O1N，则O1N平行且等于MF，

∴O1NFM是平行四边形，∴O1M∥FN，

∵MO1平面BCF，FN平面BCF，

∴MO1∥平面BCF；

（2）在Rt△ABC中，∵BC=1，∠ABC=60°，∴AC= ，AB=2，

∵等腰梯形ABCD内接于下底面圆O1，AB∥CD，且AB为圆O1的直径，∴DC=1

直线AF与平面ABC所成的角为30°，∴∠FAC=30°，在Rt△AFC中，可得FC=1．

如图以C为原点，CA、CB、CF分别为x、y、z轴建立坐标系C﹣xyz，

则A（ ，B（0，1，0），E（ ，0，1），F（0，0，1），∴M（ ，0，1），

∵BD⊥AD，AE⊥面ABC，∴DB⊥面AED，平面ADE的法向量为 =（ ，﹣ ，0）；

设面ABM的法向量为 ， ，

，取 ，

平面MAB与平面EAD所成的角（锐角）的余弦值为|cos＜ ＞|=

【解析】（1）取BC的中点N，连接FN，证明O1M∥FN即可；（2）以C为原点，CA、CB、CF分别为x、y、z轴建立坐标系C﹣xyz，求出法向量，利用向量的夹角公式求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．