Question

【题目】椭圆，是椭圆与轴的两个交点，为椭圆C的上顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设直线与轴交于点，交椭圆于、两点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k1，k2，再由条件结合离心率公式计算即可得到所求；

（2）由（1）知，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：x=my﹣，直线l与椭圆交于P，Q两点，联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量共线的坐标表示，求得S△OPQ，化简运用基本不等式可得最大值，进而得到a，b，c，即有椭圆方程．

详解：（1），， ，，

， ．

（2）由（1）知，得，

可设椭圆的方程为：

设直线的方程为：，直线与椭圆交于 两点

得

因为直线与椭圆相交，所以，

由韦达定理：，．

又，所以，代入上述两式有：，

所以

，

当且仅当时，等号成立， 此时，

代入，有成立，所以所求椭圆的方程为：．