已知无穷数列的前
项和为
,且满足
,其中
、
、
是常数.
(1)若,
,
,求数列
的通项公式;
(2)若,
,
,且
,求数列
的前
项和
;
(3)试探究、
、
满足什么条件时,数列
是公比不为
的等比数列.
(1);(2)
;(3)
,
或
或
,
.
解析试题分析:(1)已知与
的关系,要求
,一般是利用它们之间的关系
,把
,化为
,得出数列
的递推关系,从而求得通项公式
;(2)与(1)类似,先求出
,
时,推导出
与
之间的关系,求出通项公式,再求出前
项和
;(3)这是一类探究性命题,可假设结论成立,然后由这个假设的结论来推导出条件,本题设数列
是公比不为
的等比数列,则
,
,代入恒成立的等式
,得
对于一切正整数
都成立,所以
,
,
,得出这个结论之后,还要反过来,由这个条件证明数列
是公比不为
的等比数列,才能说明这个结论是正确的.在讨论过程中,还要讨论
的情况,因为
时,
,
,当然这种情况下,
不是等比数列,另外
.
试题解析:(1)由,得
; 1分
当时,
,即
2分
所以; 1分
(2)由,得
,进而
, 1分
当时,
得,
因为,所以
, 2分
进而 2分
(3)若数列是公比为
的等比数列,
①当时,
,
由,得
恒成立.
所以,与数列
是等比数列矛盾; 1分
②当,
时,
,
, 1分
由恒成立,
得对于一切正整数
都成立
所以,
或
或
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,且a2=3,点(10,S10)在直线y=10x上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2-(a-1)x-b-1,当x∈[b, a]时,函数f(x)的图像关于y轴对称,数列的前n项和为Sn,且Sn=f(n).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,Tn=b1+b2++bn,若Tn>2m,求m的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列,
满足
,
,且对任意的正整数
,
和
均成等比数列.
(1)求、
的值;
(2)证明:和
均成等比数列;
(3)是否存在唯一正整数,使得
恒成立?证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列具有性质:①
为正数;②对于任意的正整数
,当
为偶数时,
;当
为奇数时,
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若成等差数列,求
的值;
(3)设,数列
的前
项和为
,求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
等差数列中,
,公差
,且它的第2项,第5项,第14项分别是等比数列
的第2项,第3项,第4项.
(Ⅰ)求数列与
的通项公式;
(Ⅱ)设数列对任意自然数均有
成立,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列中,
且点
在直线
上。
(1)求数列的通项公式;
(2)若函数求函数
的最小值;
(3)设表示数列
的前项和.试问:是否存在关于
的整式
,使得
对于一切不小于2的自然数
恒成立?若存在,写出
的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。
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