Question

（2008•成都三模）已知△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若直线l₁：（a²+c²-ac）x+by+2=0与l₂：bx+y+1=0互相平行（b≠2）．
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，b=4

3

，当向量

1

4

CB

+

CA

与向量m

CB

+

CA

垂直时，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由l₁∥l₂，可得a²+c²-ac=b²．由余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

可求B
（2）在△ABC中，由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

可求sinA，结合a＜b，可知A＜B=60°，可求A=30°，C=90°．由

1

4

CB

+

CA

与m

CB

+

CA

垂直，可得（

1

4

CB

+

CA

）•（m

CB

+

CA

）=0，整理可求

解答：解：（1）∵l₁∥l₂，
∴a²+c²-ac=b²．即a²+c²-b²=ac（2分）
由余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

∴cosB=

1

2

．∵0°＜B＜180°
∴B=60°．…（2分）
（2）在△ABC中，a=4，b=4

3

由正弦定理，得

4

sinA

=

4 3

sin60°

∴sinA=

1

2

．
∵a＜b，∴A＜B=60°．
∴A=30°．…（2分）
∴C=90°．∴

CA

•

CB

=0．…（2分）
又

1

4

CB

+

CA

与m

CB

+

CA

垂直，
∴（

1

4

CB

+

CA

）•（m

CB

+

CA

）=0．
∴

1

4

m

CB2

+

CA2

+m

CA

•

CB

+

1

4

CA

•

CB

=0．…（2分）
即

1

4

×m×16+48=0，
∴m=-12．（2分）

点评：本题主要考查了直线一般方程平行的条件的应用，解三角形的正弦定理与余弦定理及大边对大角等知识的应用，向量的数量积的性质的应用，属于综合性试题