Question

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁，A₂，…A₉和B₁，B₂，…B₉，连结OB_i，过A_i做x轴的垂线与OB_i交于点P_i(i∈N*，1≤i≤9)．

(1)求证：点P_i(i∈N^*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；

(2)过点C做直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 　　解：(Ⅰ)依题意，过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i 　　，直线OBi的方程为 　　设Pi坐标为(x，y)，由得：，即x2＝10y， 　　都在同一条抛物线上，且抛物线E方程为x2＝10y 　　(Ⅱ)依题意：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10 　　由得 　　此时△＝100k2＋400＞0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N 　　设：，则 　　 　　又， 　　分别带入，解得 　　直线l的方程为，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0