Question

【题目】已知指数函数y=g（x）的图象经过点（2，4），且定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求f（x）的解析式，判断f（x）在定义域R上的单调性，并给予证明；
（2）若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，0）上有解，求f（ ）的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：指数函数y=g（x）的图象经过点（2，4），则g（x）=2x，

f（x）= 是奇函数，f（0）=0，可得b=1，

由f（﹣1）=﹣f（1），可得a=1，∴f（x）= ，

∵f（x）= =﹣1+ ，∴f′（x）= ＜0，

∴f（x）在定义域R上单调递减；

（2）解：方程f（x）=m在[﹣1，0）上有解，即 ﹣1=0在[﹣1，0）上有解

因为f（x）在R上的减函数，所以当x∈[﹣1，0），0=f（0）＜m≤f（﹣1）= ，得 ≥3，

所以f（ ）≤f（3）=﹣

又由 ＞0，得 ﹣1＞﹣1，得﹣1＜f（ ）≤﹣ ，

所以f（ ）的取值范围是（﹣1，﹣ ]．

【解析】（1）求出指数函数的解析式，利用定义域为R的函数f（x）= 是奇函数，求f（x）的解析式，利用导数的方法判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；（2）若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，0）上有解，求出m的范围，即可求f（ ）的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．