Question

已知直线l：y=k（x+2

2

）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．
（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．

解答：解：（Ⅰ）直线l方程kx-y+2

2

k=0(k≠0)，
原点O到l的距离为|oc|=

2 2 |k|

1+k2

（3分）
弦长|AB|=2

|OA|2-|OC|2

=2

4- 8K2 1+K2

（5分）
•ABO面积S=

1

2

|AB||OC|=

4 2 K2(1-K2)

1+K2

•
∵|AB|＞0，∴-1＜K＜1（K≠0），•
∴S(k)=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

（-1＜k＜1且K≠0）（8分），
（Ⅱ） 令 

1

1+k2

=t，

1

2

＜t＜1，

∴S(k)=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

=4

2

-2t2+3t-1

=4

2

-2(t- 3 4 )2+ 1 8

．
∴当t=

3

4

时，

1

1+k2

=

3

4

，k2=

1

3

，k=±

3

3

时，S_max=2（12分）

点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变．