Question

如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中分离出来的：
（1）试判断A₁是否在平面B₁CD内；（回答是与否）
（2）求异面直线B₁D₁与C₁D所成的角；
（3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．

Answer 1

分析：（1）利用正方体对角面是平行四边形的性质即可得出；
（2）利用对角面的性质、表面对角线组成的△AB₁D₁是等边三角形即可求出；
（3）题目中的图形一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥C₁-B₁CD₁的体积．

解答：解：（1）是．补全正方体如图所示：
证明如下：连接A₁D、B₁C，∵A₁B₁∥DC，A₁B₁=DC，
∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，
∴A₁是在平面B₁CD内；
（2）连接AB₁、AD₁，∵对角面AB₁C₁D是矩形，∴AB₁∥DC₁，
∴∠AB₁D₁或其补角是异面直线B₁D₁与C₁D所成的角．
∵AD₁=AB₁=D₁B₁，∴△AB₁D₁是正三角形．
∴∠AB₁D₁=60°．
∴异面直线B₁D₁与C₁D所成的角是60°．
（3）题目中的图形一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是
三棱锥C₁-B₁CD₁的体积．
又VC1-B1D1C=VC-B1C1D1=

1

3

•

1

2

a•a•a=

1

6

a3．
∴用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛

1

6

a3体积的水．

点评：熟练掌握正方体对角面、表面对角线的性质及三棱锥的体积计算公式是解题的关键．