Question

20．复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）在复平面内对应点为Z，设r=|$\overline{OZ}$|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a+bi=r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式．
（1）用数学归纳法证明：[r（cosθ+isinθ）]ⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）（n∈N^*）；
（2）利用等式（1+i）¹⁰⁰=[$\sqrt{2}$（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）]¹⁰⁰，求C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用用数学归纳法即可证明：[r（cosθ+isinθ）]ⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）（n∈N^*）；
（2）根据复数的基本运算以及二项式展开式的通项公式，得到C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$为复数（1+i）¹⁰⁰的实部，进行求解即可．

解答 （1）证明：当n=1时，左边=cosθ+isinθ，右边=cosθ+isinθ，左边=右边，即n=1成立，
假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]^k=r^k（coskθ+isinkθ），
则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]^k+1=[r（cosθ+isinθ）]^kr（cosθ+isinθ）
=r^k（coskθ+isinkθ）r^k（cosθ+isinθ）=r^k+1[（coskθcosθ-sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]
=r^k+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，
即当n=k+1时，等式成立，
综上对n∈N^*，等式恒成立．
（2）解：二项式（1+i）¹⁰⁰的展开式的通项公式为T_k+1=C${\;}_{100}^{k}$i^k=，
则当k=4n+2时，i^k=i⁴ⁿ⁺²=-1，
当k=4n时，i^k=i⁴ⁿ=1，
则C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$为复数（1+i）¹⁰⁰的实部，
则[$\sqrt{2}$（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）]¹⁰⁰=（$\sqrt{2}$）¹⁰⁰（cos$\frac{100π}{4}$+isin$\frac{100π}{4}$）=2⁵⁰（cos25π+isin25π）=2⁵⁰，
即复数（1+i）¹⁰⁰的实部为-2⁵⁰，
即C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$=-2⁵⁰．

点评 本题主要考查推理和证明的应用，利用数学归纳法以及二项展开式的内容是解决本题的关键．特别是得到C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$为复数（1+i）¹⁰⁰的实部是解决的突破点，综合性较强，难度较大．