分析 (1)利用用数学归纳法即可证明:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*);
(2)根据复数的基本运算以及二项式展开式的通项公式,得到C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$为复数(1+i)100的实部,进行求解即可.
解答 (1)证明:当n=1时,左边=cosθ+isinθ,右边=cosθ+isinθ,左边=右边,即n=1成立,
假设当n=k时等式成立,即:[r(cosθ+isinθ)]k=rk(coskθ+isinkθ),
则当n=k+1时,[r(cosθ+isinθ)]k+1=[r(cosθ+isinθ)]kr(cosθ+isinθ)
=rk(coskθ+isinkθ)rk(cosθ+isinθ)=rk+1[(coskθcosθ-sinkθsinθ)+i(sinkθcosθ+coskθsinθ)]
=rk+1[cos(k+1)θ+isin(k+1)θ],
即当n=k+1时,等式成立,
综上对n∈N*,等式恒成立.
(2)解:二项式(1+i)100的展开式的通项公式为Tk+1=C${\;}_{100}^{k}$ik=,
则当k=4n+2时,ik=i4n+2=-1,
当k=4n时,ik=i4n=1,
则C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$为复数(1+i)100的实部,
则[$\sqrt{2}$(cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$)]100=($\sqrt{2}$)100(cos$\frac{100π}{4}$+isin$\frac{100π}{4}$)=250(cos25π+isin25π)=250,
即复数(1+i)100的实部为-250,
即C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$=-250.
点评 本题主要考查推理和证明的应用,利用数学归纳法以及二项展开式的内容是解决本题的关键.特别是得到C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$为复数(1+i)100的实部是解决的突破点,综合性较强,难度较大.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | 两个椭圆 | B. | 两条双曲线 | ||
C. | 两条双曲线的左支 | D. | 两条双曲线的右支 |
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A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | -2 | C. | -1 | D. | -$\frac{1}{4}$ |
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