Question

3．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=SB，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，点E、F分别是AB、SD的中点．
（1）证明：平面SAB⊥平面SEC；
（2）若BC=2，SE=3，平面SAB⊥底面ABCD，求二面角S-EC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥平面SEC，利用平面与平面垂直的判定定理，证明平面SAB⊥平面SEC；
（2）证明SE⊥底面ABCD，建立以E为坐标原点，EB，EC，ES分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵SA=SB，点E是AB的中点，
∴SE⊥AB，
∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，点E是AB的中点，
∴AB⊥CE，
∵SE∩CE=E，
∴AB⊥平面SEC，
∵AB?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SEC；
解：（2）∵平面SAB⊥底面ABCD，平面SAB∩底面ABCD=AB，SE⊥AB，
∴SE⊥底面ABCD，
建立以E为坐标原点，EB，EC，ES分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵SE=3，F是SD的中点，
∵BC=2，SE=3，
∴BE=1，EC=$\sqrt{3}$，
则B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），S（0，0，3），A（-1，0，0），
设D（s，t，0）则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$，即（s，t-$\sqrt{3}$，0）=（-2，0，0），
则s=-2，t=$\sqrt{3}$，即D（2，$\sqrt{3}$，0），F（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则平面SEC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ECF的法向量，
则$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EF}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=2，则y=0，x=-3，即$\overrightarrow{m}$=（-3，0，2），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{1×\sqrt{9+4}}=\frac{-3}{\sqrt{13}}$=-$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∵二面角S-EC-F是锐二面角，
∴二面角S-EC-F的余弦值是$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．