考点:两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值
专题:三角函数的求值
分析:(Ⅰ)利用两角和与差三角函数化简解析式,求出相位的范围,即可求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(Ⅱ)直接利用正弦函数的单调求解求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(α)=
,解法一,利用已知条件,通过平方,二倍角的正弦函数求出sin2α,cos2α,然后利用两角和的正弦函数去
sin(2α-)的值.
解法二,求解
sin(α+),
cos(α+),然后求解所求表达式的值即可.
解答:
解:(Ⅰ)∵
f(x)=sin(x+),(3分)
∵0≤x≤π,∴
≤x+≤,(4分)
所以当
x+=,即
x=时,(5分)
f(x)有最大值
;(6分)
(Ⅱ)当
0≤x+≤时f(x)单调增,(7分)
当
≤x+≤π时f(x)单调减,(8分)
所以f(x)的单调增区间是
[0,],单调减区间是
[,π];(10分)
(Ⅲ)解法一:∵
sinα+cosα=,0≤α≤π,∴
≤α≤∴
π≤2α≤,(11分)
∵
(sinα+cosα)2=∴
sin2α=-∴
cos2α=-(13分)
∴
sin(2α-)=-cos2α=(14分)
解法二:∵
f(α)=,0≤α≤π,即
sin(α+)=<∴
<α+≤π(11分)
∴
cos(α+)=-∴
sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=-,即
cos2α=-.(13分)
∴
sin(2α-)=-cos2α=.(14分)
点评:本题考查三角函数的化简求值,两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力以及转化思想.