Question

13．已知a，b均为正数，$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=3$，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，3]
• D． （-∞，9]

Answer 1

分析 由基本不等式可得a+b的最小值，由恒成立可得结论．

解答 解：∵a，b均为正数，且$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=3$，
∴a+b=$\frac{1}{3}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）
=$\frac{1}{3}$（5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）
≥$\frac{1}{3}$（5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）=3，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$即a=1且b=2时，a+b取最小值3，
要使使a+b≥c恒成立，只需c≤3
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立，属基础题．