Question

【题目】已知函数f（x）= 为偶函数
（1）求实数a的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ ，判断λ与E的关系；
（3）当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 为偶函数．

∴f（﹣x）=f（x）

即 =

∴2（a+1）x=0，

∵x为非零实数，

∴a+1=0，即a=﹣1

（2）解：由（Ⅰ）得

∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }

而 = = = =

∴λ∈E

（3）解：∵ ＞0恒成立

∴ 在 上为增函数

又∵函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，

∴f（ ）=1﹣m2=2﹣3m，且f（ ）=1﹣n2=2﹣3n，

又∵ ，m＞0，n＞0

∴m＞n＞0

解得m= ，n=

【解析】（Ⅰ）根据函数 为偶函数f（﹣x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中函数f（x）的解析式，将x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案（Ⅲ）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，x∈ ，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合和利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．