Question

某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号．开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，请你解决以下问题：
（Ⅰ）若要求8分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放几个窗口？
（Ⅱ）若医院做出承诺，开始挂号后每人等待的时间不超过25分钟，问：若N=60，当只开放一个窗口时，能否实现做出的承诺？

Answer 1

分析：（I）由已知中当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号．开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．我们可以构造关于M，N的方程组，求出M，N，K的关系，进而由8分钟后不出现排队现象，构造一个关于x的方程组，解方程组即可得到答案．
（II）由（I）的结论可得当N=60时，K=2.5，M=1，我们构造第n个人的等待时间的函数f（n），求出其解析式后，分析其最值，比照后，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设要同时开放x个窗口才能满足要求，
则 

N+40M=40K(1) N+15M=15K×2(2) N+8M≤8Kx(3)

由（1）、（2）得

K=2.5M N=60M

代入（3）得60M+8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4．
故至少同时开放4 个窗口才能满足要求．
（Ⅱ）N=60时，K=2.5，M=1，设第n个人的等待时间为f（n）．
当n≤60时，第n个人的等待时间为他前面的n-1个人挂号完用去的时间；
当n＞60时，第n个人的等待时间为他前面的n-1个人挂号．
用去的时间减去他在开始挂号后到来挂号用去的时间，即
f（n）=

n-1 2.5 (n≤60) n-1 2.5 -(n-60)(n＞60)

当n≤60时，则当n=60时，f（n）取最大值为23.6分钟．
当n＞60时，则当n=61时，f（n）取最大值为23分钟．
故等待时间最长为23.6分钟，说明能够实现承诺．

点评：本题考查的知识点函数模型的选择与应用，在利用函数模型，解答应用题时，解答的关键是根据已知条件求出函数的解析式，易忽略点是实际问题对自变量取值范围（定义域）的影响．