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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
    （1）若对任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）≠f（x2），求证：关于x的方程f(x)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    有两个不相等的实数根且必有一个根属于（x1，x2）；
    （2）若关于x的方程f(x)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    在（x1，x2）的根为m，且x1，m-
    1
    2
    ，x2    成等差数列，设函数f （x）的图象的对称轴方程为x=x0，求证：x0＜m2．
    分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为g（x），由
    g（x1）g（x2）＜0，可得方程有一个根属于（x1，x2）．
    （2）由题意可得f(m)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，即a（2m2-x12-x22）+b（2m-x1-x2）=0，由x1，m-
    1
    2
    、x2成等差数列，可得 x1+x2=2m-1，故b=-a（2m2-x12-x22），由x0=-
    b
    2a
    =
    2m2-(
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    )
    2
    =m2-
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    2
    证得结论．
    解答：证明：（1）∵f(x)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，∴ax2+bx+c=
    1
    2
    [a
    x
    2
    1
    +bx1+c+a
    x
    2
    2
    +bx2+c]    ，
    整理得：2ax2+2bx-a（x12+x22）-b（x1+x2）=0，（2分）
    ∴△=4b2+8a[a（x12+x22）+b（x1+x2）]=2[（2ax1+b）2+（2ax2+b）2]，
    ∵x1，x2∈R，x1＜x2，∴2ax1+b≠2ax2+b，（4分）
    ∵△＞0，故方程有两个不相等的实数根．                    （6分）
    令g(x)=f(x)-
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，（7分）
    则g(x1)g(x2)=-
    1
    4
    [f(x1)-f(x2)]2    ，
    又f（x1）≠f（x2），则g（x1）g（x2）＜0，
    故方程f(x)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    有一个根属于（x1，x2）．         （9分）
    （2）∵方程f(x)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    在（x1，x2）根为m，
    ∴f(m)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，∴a（2m2-x12-x22）+b（2m-x1-x2）=0，（10分）
    ∵x1，m-
    1
    2
    、x2成等差数列，则x1+x2=2m-1，（12分）
    ∴b=-a（2m2-x12-x22），
    故x0=-
    b
    2a
    =
    2m2-(
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    )
    2
    =m2-
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    2
    ＜m2    ．                    （14分）
    点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想．
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    f(x)x-1
    ．
    （1）求a的值；
    （2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；
    （3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知二次函数f（x）的图象与x轴的两交点为（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
    （2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

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