Question

设三次函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1处取得极值，其图像在x＝m处的切线的斜率为－3a．

(1)求证：；

(2)若函数y＝f(x)在区间[s，t]上单调递增，求|s－t|的取值范围；

(3)问是否存在实数k(k是与a，b，c，d无关的常数)，当x≥k时，恒有恒成立？若存在，试求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)，由题设，得　①

　　　②

　　∵

　　由①代入②得

　　得　③

　　将代入中，得　④

　　由③、④得；…………5分

　　(1)由(1)知，

　　∴方程的判别式有两个不等实根，

　　又，∴

　　∴当或时，，当时，

　　∴函数的单调区间是，∴，

　　由知．

　　∵函数在区间[s，t]上单调递增，∴[s，t]，

　　∴，即的取值范围是，…………10分

　　(2)由，即

　　∵，令，

　　要使在上恒成立，

　　只需　即，∴或

　　由题意，得

　　∴存在实数k满足条件，即k的最小值为．…………14分