【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn , 且a1=1,an+12=Sn+1+Sn .
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=a2n﹣1 , 求数列{bn}的前n项和Tn .
【答案】解:(1)∵an+12=Sn+1+Sn , ∴当n≥2时,=Sn+Sn﹣1 , 可得an+12﹣=an+1+an ,
∵an+1+an>0,∴an+1﹣an=1.
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1.
∴an=1+(n﹣1)×1=n.
(2)bn=a2n﹣1=(2n﹣1)2n .
∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×22+5×23+…+(2n﹣1)2n .
∴2Tn=22+3×23+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1 ,
∴﹣Tn=2+2(22+23+…+2n)﹣(2n﹣1)2n+1=﹣2﹣(2n﹣1)2n+1=(3﹣2n)2n+1﹣6,
【解析】(1)由an+12=Sn+1+Sn , 利用递推关系可得an+12﹣=an+1+an , 由于an+1+an>0,可得an+1﹣an=1.再利用等差数列的通项公式即可得出;
(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系),还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且2a1 , a3 , 3a2成等差数列.
(Ⅰ) 求等比数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 若数列{bn}满足bn=11﹣2log2an , 求数列{bn}的前n项和Tn的最大值.
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【题目】某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.
参考公式及数据:,.
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【题目】在△ABC中,内角A= ,P为△ABC的外心,若 =λ1 +2λ2 ,其中λ1与λ2为实数,则λ1+λ2的最大值为( )
A.
B.1﹣
C.
D.1+
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【题目】已知函数及关于的不等式.
(1)若该不等式的解集为,求实数的值;
(2)若,求函数的最小值;
(3)若该不等式的解集中有且只两个整数,求实数的取值范围.
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【题目】如图,A,B,C的坐标分别为(﹣ ,0),( ,0),(m,n),G,O′,H分别为△ABC的重心,外心,垂心.
(1)写出重心G的坐标;
(2)求外心O′,垂心H的坐标;
(3)求证:G,H,O′三点共线,且满足|GH|=2|OG′|.
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