Question

8．已知f（x）=tan（2x-bπ）的图象的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），若|b|＜$\frac{1}{2}$，求函数f（x）的周期及单调区间．

Answer 1

分析 根据正切函数的对称性求出b，结合正切函数的图象和性质进行求解即可．

解答 解：由2x-bπ=$\frac{kπ}{2}$得x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{bπ}{2}$，
即函数f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{4}$+$\frac{bπ}{2}$，0）
∵f（x）=tan（2x-bπ）的图象的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），
∴$\frac{kπ}{4}$+$\frac{bπ}{2}$=$\frac{π}{3}$，
即$\frac{k}{4}$+$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{3}$，即b=$\frac{2}{3}$-$\frac{k}{2}$，
若|b|＜$\frac{1}{2}$，
则-$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$-$\frac{k}{2}$＜$\frac{1}{2}$，
得$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{7}{3}$，即k=1，
若k=1，则b=$\frac{1}{6}$，
即f（x）=tan（2x-bπ）=tan（2x-$\frac{π}{6}$），
则函数的周期T=$\frac{π}{2}$，
由kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$），k∈Z．

点评 本题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的对称性是解决本题的关键．