Question

已知△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若ac=5，且

BA

•

BC

=

5

．
（1）求△ABC的面积大小及tanB的值；
（2）若函数f(x)=

2cos2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 -1

cos( π 4 +x)

，求f（B）的值．

Answer 1

分析：（1）将已知的第二个等式左边利用平面向量的数量积运算法则化简后，把ac的值代入求出cosB的值，再由B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，进而求出tanB的值，由ac及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（2）将f（x）解析式的分子第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，分母利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后将x=B代入，分子分母同时除以cosB，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanB的值代入计算，即可求出值．

解答：解：（1）∵ac=5，

BA

•

BC

=

5

，
∴

BA

•

BC

=accosB=5cosB=

5

，即cosB=

5

5

，
又B为三角形的内角，
∴sinB=

1-sin2B

=

2 5

5

，
∴tanB=2，
∴S=

1

2

acsinB=

5

；
（2）∵f（x）=

2cos2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 -1

cos( π 4 +x)

=

cosx+sinx

2 2 (cosx-sinx)

=

2 (cosx+sinx)

cosx-sinx

，
∴f（B）=

2 (cosB+sinB)

cosB-sinB

，
∵tanB=2，
∴f（B）=

2 (1+tanB)

1-tanB

=-3

2

．

点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．