Question

7．如图，ABCD-A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点．
（1）判断四边形MNA′C′的形状；
（2）求四边形MNA′C′的面积．

Answer 1

分析 （1）根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得MN∥A′C′∥AC，且MN=$\frac{1}{2}$A′C′=$\frac{1}{2}$AC，进而可判断四边形MNA′C′的形状；
（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案．

解答 解：（1）∵ABCD-A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，M，N分别是CD和AD的中点．
∴AC=$\sqrt{2}$a，MN∥A′C′∥AC，且MN=$\frac{1}{2}$A′C′=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
故四边形MNA′C′为梯形；
（2）由长方体ABCD-A′B′C′D′的高为2a，
故梯形的高为$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a-\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{66}}{4}$a，
故四边形MNA′C′的面积S=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$+$\sqrt{2}$a）×$\frac{\sqrt{66}}{4}$a=$\frac{3\sqrt{33}}{8}$a²．

点评 本题考查的知识点是棱柱的几何特征，梯形面积的求法，难度不大，属于基础题．