Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若?x∈[-2-

2

，2+

2

]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范是

 

．

Answer 1

分析：由当x≥0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（

2

x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[-2-

2

，2+

2

]恒成立，可得x+t≥

2

x在[-2-

2

，2+

2

]恒成立，即可得出答案．

解答：解：当x≥0时，f（x）=x²
∵函数是奇函数
∴当x＜0时，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2  x≥0 -x2 x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[-2-

2

，2+

2

]上恒成立，
∴x+t≥

2

x在[-2-

2

，2+

2

]恒成立，
即：x≤（1+

2

）t在x∈[-2-

2

，2+

2

]恒成立，
∴2+

2

≤（1+

2

）t
解得：t≥

2

，
故答案为：[2，+∞）．

点评：本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式化为f（a）≥f（b）形式是解题的关键，属中档题．