Question

3．已知F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 由题意可得AB为直线l的垂直平分线，运用中点坐标公式和垂直的条件，可得l的方程，令y=0，可得左焦点坐标，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，解方程可得离心率．

解答 解：点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，
可得AB为直线l的垂直平分线，
AB的中点为（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），AB的斜率为-$\frac{b}{a}$，
可得直线l的方程为y-$\frac{b}{2}$=$\frac{a}{b}$（x-$\frac{a}{2}$），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$a-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，
由题意可得-c=$\frac{1}{2}$a-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，
即有a（a+2c）=b²=c²-a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$（1-$\sqrt{3}$舍去），
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查线段的垂直平分线方程，以及化简整理的运算能力，属于中档题．