Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．
（1）求EF与DG所成角的余弦值；
（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与DG所成角的余弦值．
（2）求出平面PBC的法向量，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{n}$，由此利用向量法能求出结果．

解答 解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
∵E、F、G分别为BC、PD、PC的中点，
∴$E（1，\frac{1}{2}，0）$，F（0，1，$\frac{1}{2}$），
G（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{DG}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$），
设EF与DG所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DG}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{DG}|}$=$\frac{2}{33}\sqrt{66}$．
∴EF与DG所成角的余弦值为$\frac{2}{33}\sqrt{66}$．
（2）设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
M为EF上一点，N为DG上一点，
若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{n}$，
设M（${x}_{1}，{y}_{1}，{{z}_{1}}^{{\;}_{\;}}$），N（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-{x}_{1}={z}_{2}-{z}_{1}}\\{{y}_{2}-{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，①
∵点M，N分别是线段EF与DG上的点，
∴$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{DN}=t\overrightarrow{DG}$，
∵$\overrightarrow{EM}$=（${x}_{1}-1，{y}_{1}-\frac{1}{2}，{z}_{1}$），$\overrightarrow{DN}$=（x₂，y₂-2，z₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-1=-λ}\\{{y}_{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}λ}\\{{z}_{1}=\frac{1}{2}λ}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1}{2}t}\\{{y}_{2}-2=-\frac{3}{2}t}\\{{z}_{2}=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，②
把②代入①，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}λ+\frac{3}{2}=0}\\{\frac{1}{2}t+λ-1=\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}λ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{3}}\\{t=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{1}{3}，\frac{5}{6}，\frac{1}{3}$），N（$\frac{7}{18}，\frac{5}{6}，\frac{7}{18}$）．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意向量法的合理运用．