Question

（2012•郑州二模）已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（I）当a=

1

2

时，求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（II）若函数g（x）=f（x）-

1

4

x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，进而可得函数的极值与最值；
（Ⅱ）求导函数g′（x）=

-ax2+4ax-4

4ax2

(a＞0)，构造函数h（x）=-ax²+4ax-4，由题意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，从而可求正实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=

1

2

时，f′(x)=

x-2

x2

（x＞0），
∴当x∈[1，2]时，f′（x）＜0；当x∈（2，e]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，在（2，e]上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上有唯一极小值点，
故f（x）_min=f（x）_极小值=f（2）=ln2-1．
又∵f（1）=0，f（e）=

2-e

e

＜0．
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（x）_max=f（1）=0．
综上可知，函数f（x）在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2-1．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-

1

4

x，
∴g′（x）=

-ax2+4ax-4

4ax2

(a＞0)，
设h（x）=-ax²+4ax-4，由题意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，
因为a＞0，h（x）图象的对称轴为x=2，
所以只需h（1）=3a-4≥0，所以a≥

4

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．