Question

设函数f(x)＝(1＋x)²－2ln (1＋x)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的方程f(x)＝x²＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)的递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．
（2）(2－2ln 2,3－2ln 3]．

试题分析：解　(1)函数的定义域为(－1，＋∞)，
因为f(x)＝(1＋x)²－2ln(1＋x)，
所以f′(x)＝2＝，
由f′(x)＞0，得x＞0；由f′(x)＜0，得－1＜x＜0，
所以，f(x)的递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．
(2)方程f(x)＝x²＋x＋a，即x－a＋1－2ln(1＋x)＝0，
记g(x)＝x－a＋1－2ln(1＋x)(x＞－1)，
则g′(x)＝1－＝，
由g′(x)＞0，得x＞1；
由g′(x)＜0，得－1＜x＜1.
所以g(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
为使f(x)＝x²＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异的实根，
只须g(x)＝0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根，
于是有即
解得2－2ln 2＜a≤3－2ln 3，
故实数a的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3]．
点评：解决的关键是根据导数判定函数单调性，以及函数的零点问题，属于中档题。