Question

已知抛物线 x²=4y的焦点是椭圆 C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一个顶点，椭圆C的离心率为

3

2

．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为

a2+b2

（Ⅰ）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，

a2+b2

）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，求直线l被圆O截得的弦长；
（Ⅲ）已知M（x₀，y₀）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析：（I）确定抛物线焦点坐标，可得b的值，利用椭圆C的离心率为

3

2

，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为

a2+b2

，即可求椭圆C和圆O的方程．
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+

5

，k＜0，由

y=kx+ 5 x2 4 +y2=1

，得x2+4(kx+

5

)2=4，由△=(8

5

k)2-64(1+4k2)=0，推导出直线l方程为y=-x+

5

，由此能求出直线l被圆O截得的弦长．
（Ⅲ）分类讨论，利用韦达定理，计算斜率的积为-1，即可证得结论．

解答：（I）解：由x²=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，
又∵e=

3

2

，∴

c2

a2

=

3

4

，∵a2=b2+c2，∴a²=4，
∴

a2+b2

=

5

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，圆O的方程为x²+y²=5．
（Ⅱ）∵过点P（0，

5

）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，
∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+

5

，k＜0
由

y=kx+ 5 x2 4 +y2=1

，得x2+4(kx+

5

)2=4，
即（1+4k²）x²+8

5

kx+16=0，
则△=(8

5

k)2-64(1+4k2)=0，
∴k²=1，又k＜0，k=-1，
∴直线l方程为y=-x+

5

，
圆心O到直线l方程为y=-x+

5

，
圆心O到直线l的距离d=

5

2

=

10

2

，
∴直线l被圆O截得的弦长为2

5-( 10 2 )2

=

10

．
 （Ⅲ）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），
则过这四点分别作满足条件的直线l₁，l₂，
若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l₁⊥l₂
若直线l₁，l₂斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），
由

y=kx+(y0-kx0) x2 4 +y2=1

，得x²+4[kx+（y₀-kx₀）]²=4，
即（1+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）•x+4（y₀-kx₀）2-4=0，
则△=[8k（y₀-kx₀）]2-4（1+4k²）[4（y₀-kx₀）²-4]=0，
化简得（4-x02）k²+2x₀y₀k+1-y02=0，
∵x02+y02=5，
∴（4-x02）k²+2x₀yk+x02-4=0，
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以k₁，k₂满足（4-x02）k²+2x₀yk+x02-4=0，
∴k₁•k₂=

x02-4

4-x02

=-1，
∴l₁⊥l₂．

点评：本题考查椭圆与圆的标准方程，考查弦长的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．