Question

【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：

组别	PM2.5浓度（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，25]	3	0.15
第二组	（25，50]	12	0.6
第三组	（50，75]	3	0.15
第四组	（75，100]	2	0.1

（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图． ①求频率分布直方图中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．

Answer 1

【答案】
（1）解：①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，

得25a=0.1，

解得a=0.004；

②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：

12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；

因为42.5＞35，

所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，

故该居民区的环境需要改进

（2）解：由题意可得：

PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，

X的可能取值为0，1，2，3；

P（X=k）= （1﹣0.9）3﹣k0.9k，

可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，

P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；

X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

【解析】（1）（1）①估计频率和为1求出a的值；②利用频率分布直方图求出年平均浓度，与35比较即可得出结论；（2）由题意得PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X=k）= 0.13﹣k0.9k，写出分布列．
【考点精析】掌握频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．