Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁和F₂，离心率e=

2

2

，且a²=2c．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直线的方程．

Answer 1

考点：椭圆的应用,椭圆的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用离心率公式及条件，以及a，b，c的关系，列出方程组，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过点F₁（-1，0）的直线l：y=k（x+1），由

y=k(x+1) x2+2y2=2

消去y，得到二次方程，运用韦达定理，以及平面向量的坐标运算和向量的模的公式，即可解得k=±1，注意检验判别式是否大于0．

解答： 解：（1）由于离心率e=

2

2

，且a²=2c，
则

c

a

=

2

2

，且a²=2c，解得a=

2

，c=1．
则b²=a²-c²=1，
故椭圆的标准方程为

x2

2

+y²=1；
（2）设过点F₁（-1，0）的直线l：y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2+2y2=2

消去y，得，（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设M（x₁．y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

，
由于F₂（1，0），|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，
则

F2M

=（x₁-1，y₁），

F2N

=（x₂-1，y₂），
即有（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²=

4×26

9

，
即有（-

4k2

1+2k2

-2）²+（

2k

1+2k2

）²=

104

9

，
解得k²=1．检验：△=16k⁴-4（1+2k²）（（2k²-2）=16＞0，
故k=±1．
则直线l的方程为：y=x+1或y=-x-1．

点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理，同时考查平面向量的坐标运算，属于中档题．