【题目】已知函数f(x)=x2+2ax+a+1.
(1)当a=1时,求函数在区间[﹣2,3]上的值域;
(2)函数f(x)在[﹣5,5]上单调,求实数a的取值范围;
(3)求函数f(x)在[0,2]上的最小值g(a)的解析式.
【答案】
(1)解:因为函数f(x)=x2+2ax+a+1,
当a=1时:f(x)=x2+2x+2,x∈[﹣2,3],
考虑函数f(x)的对称轴x=﹣1∈[﹣2,3],
∴fmin(x)=f(﹣1)=1,
∴fmax(x)=f(3)=17;
∴函数的值域是[1,17]
(2)解:∵函数f(x)在[﹣5,5]上单调,
∴函数的对称轴x=﹣a[﹣5,5],
∴a∈(﹣∞,﹣5]∪[5,+∞)
(3)解:①当﹣a<0时,即a>0函数f(x)=x2+2ax+a+1在区间[0,2]上是增函数,
故当x=0时,函数取得最小值是f(0)=a+1;
②当0≤﹣a≤2时,即﹣2≤a≤0由于函数f(x)=x2+2ax+a+1对称轴是x=﹣a,
故当x=﹣a时,函数在区间[0,2]上取得最小值是f(﹣a)=a2+a+1.
③当﹣a>2时,即a<﹣2函数f(x)=x2+2ax+a+1在区间[0,2]上是减函数,
故当x=2时,函数取得最小值是f(2)=5a+5.
综上可得 g(a)=
【解析】(1)将a=1的值代入f(x)的表达式,求出函数f(x)的解析式,从而求出函数的值域即可;(2)先求出函数的对称轴,结合函数的单调性判断即可;(3)通过讨论a的范围,根据函数的单调性判断g(a)的解析式即可.
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和二次函数在闭区间上的最值是解答本题的根本,需要知道单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;当时,当时,;当时在上递减,当时,.
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【题目】由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下:
5860 6520 7326 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860
8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表(设步数为x)
组别 | 步数分组 | 频数 |
A | 5500≤x<6500 | 2 |
B | 6500≤x<7500 | 10 |
C | 7500≤x<8500 | m |
D | 8500≤x<9500 | 2 |
E | 9500≤x<10500 | n |
(Ⅰ)写出m,n的值,若该“微信运动”团队共有120人,请估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数;
(Ⅱ)记C组步数数据的平均数与方差分别为v1, ,E组步数数据的平均数与方差分别为v2, ,试分别比较v1与v2, 与的大小;(只需写出结论)
(Ⅲ)从上述A,E两个组别的步数数据中任取2个数据,求这2个数据步数差的绝对值大于3000步的概率.
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【题目】解答题
(1)已知全集U=R,集合A={x|x<﹣4,或x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2},求A∩B、(UA)∪(UB);
(2)求值:若x>0,求 .
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【题目】某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费为1万元,以后每年增加2万元,把工作室出租,每年收入租金30万元.
(1)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润?
(2)若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方案:①年平均利润最大时,以46万元出售该工作室;②纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方案?
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【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a≥0)
(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;
(2)求y=f(x)在区间(0,2]上的最大值.
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【题目】已知p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切 恒成立;q:函数f(x)=-(5-2a)x在R上是减函数.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数a的取值范围( )。
A.
B.B、
C.C、
D.a≥-2
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