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已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+x2=64相内切

(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;

(2)设直线l: y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

 

【答案】

解:(1)圆M:(x-2)2+x2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.      

∵|AM|=4<R,∴点A(-2,0)在圆M内,

设动圆C的半径为r,圆心为C,依题意得r= |CA|,且|CM|=R-r,

即|CM+|CA|=8>|AM|,                              ……3分

∴圆心CD的轨迹是中心在原点,以A,M两点为焦点,长轴长为8的椭圆,设其方程为(a>b>0),则a=4,c=2,

∴b2=a2-c2=12,

∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.…5分

(2)由消去y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,

设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=.

△1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0.        ①           ……7分

消去y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,

设E(x3,y3),F(x4,y4),则x3+x4=.

△2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0.        ②           ……9分

,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即x1+x2= x3+x4,

,∴2km=0或

解得k=0或m=0,                                   ……12分

当k=0时,由①、②得

∵m∈Z,∴m的值为-3,-2,-1,0,1,2,3;

当m=0时,由①、②得,∵k∈Z,∴k=-1,0,1.

∴满足条件的直线共有9条.                          ……14分

 

【解析】略

 

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(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;
(2)设直线l:y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线
x2
4 
-
y2
12
=1
交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得向量
DF
+
BE
=
0
,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

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