定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2an+1}是“平方数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式．
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞4020的n的最小值．
分析：（1）由条件a
n+1=2a
n2+2a
n，得2a
n+1+1=4a
n2+4a
n+1=（2a
n+1）
2，而由lgb
n+1=2lgb
n．可得
=2．，从而可得{lg（2a
n+1）}为等比数列．
（2）由（I）可求lga
n，进而可求a
n，利用对数的运算性质可求lgT
n，进而可求T
n（3）由（2）可求b
n=
，求出S
n代入不等式S
n＞4020可求n
解答：解：（1）由条件a
n+1=2a
n2+2a
n，得2a
n+1+1=4a
n2+4a
n+1=（2a
n+1）
2．∴{b
n}是“平方数列”．
∴lgb
n+1=2lgb
n．∵lg（2a
1+1）=lg5≠0，∴
=2．∴{lg（2a
n+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a
1+1）=lg5，∴lg（2a
n+1）=2
n-1?lg5，
∴2a
n+1=
52n-1，∴a
n=
（
52n-1-1）
∵lgT
n=lg（2a
1+1）+lg（2a
2+1）+…+lg（2a
n+1）=
=（2
n-1）lg5．
∴T
n=
5(-1+2n)（3）b
n=
=
∴
Sn=2n-2+＞4020
∴n的最小值为2011．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，对数的运算性质的应用，分组求和的应用，属于知识的综合应用．
