Question

5．已知x²f′（x）+xf（x）=lnx，且f（e）=$\frac{1}{e}$，求f（x）在（0，+∞）上的性质．

Answer 1

分析 由题意x²f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x，格局求导法则可知等式的左边是[xf（x）]′，令g（x）=xf（x），用g（x）表示f（x）并求出f′（x），再对f′（x）的分子构造函数再求导，根据导数与单调性的关系从而求出分子的最大值，即可判断f′（x）的符号，再判断f（x）的单调性．

解答 解：由题意得，x∈（0，+∞），
由x²f′（x）+xf（x）=lnx得，xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=xf（x），则f（x）=$\frac{g（x）}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{xg′（x）-g（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-g（x）}{{x}^{2}}$，
令h（x）=lnx-g（x），则h′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$=$\frac{1-lnx}{x}$（x＞0），
令h′（x）＞0，即1-lnx＞0，得0＜x＜e时，h（x）在（0，e）上为增函数；
令h′（x）＜0，即1-lnx＜0，得x＞e时，h（x）在（e，+∞）上为减函数；
由f（e）=$\frac{1}{e}$得，g（e）=ef（e）=1．
∴h（x）在（0，+∞）上有极大值h（e）=lne-g（e）=1-1=0，也是最大值，
∴h（x）≤0，即f′（x）≤0，当且仅当x=e时，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．

点评 本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，以及二次求导问题，在“x²f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键，考查根据式子和特点构造恰当的函数，观察、分析和解决问题的能力，难度较大．