Question

已知函数f(x)=

2x

x+1

(x＞0)
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；
（2）设g（x）=log₂f（x），求g（x）的值域；
（3）对于（2）中函数g（x），若关于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形定号、下结论，即可证得；
（2）确定0＜f（x）＜2，利用函数的单调性，可求g（x）的值域；
（3）作出y=|g（x）|大致图象，设|g（x）|=t，则|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t²+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，由此可得结论．

解答：（1）证明：f(x)=

2x

x+1

=2-

2

x+1

，
设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，…（2分）
则f(x1)-f(x2)=(2-

2

x1+1

)-(2-

2

x2+1

)=-

2

x1+1

+

2

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

…（4分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∴

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
（2）解：f(x)=

2x

x+1

=2-

2

x+1

，
因为x＞0，所以x+1＞1，所以0＜

2

x+1

＜2，即0＜f（x）＜2…（8分）
又因为x＞0时，f（x）单调递增，y=log₂t单调递增，
所以y=log₂f（x）单调递增，所以g（x）值域为（-∞，1）…（10分）
（3）解：由（2）可知y=|g（x）|大致图象如图所示，
设|g（x）|=t，则|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t²+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，
设h（t）=t²+mt+2m+3…（12分）
①当有一个根为1时，h（1）=1²+m+2m+3=0，m=-

4

3

，此时另一根为

1

3

适合题意； …（13分）
②当没有根为1时，

h(0)＞0 h(1)＜0

，得

2m+3＞0 12+m+2m+3＜0

，
∴-

3

2

＜m＜-

4

3

∴m的取值范围为(-

3

2

，-

4

3

]…（16分）

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的值域，考查方程根的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．