Question

正整数数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

an-n，an＞n an+n，an≤n.

（Ⅰ）写出数列{a_n}的前5项；
（Ⅱ）将数列{a_n}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n_k}，试用n_k表示n_k+1（不必证明）；
（Ⅲ）求最小的正整数n，使a_n=2013．

Answer 1

（Ⅰ）令n=1代入an+1=

an-n，an＞n an+n，an≤n

得，a₂=a₁+1=2，
令n=2代入得a₃=a₂+2=4；令n=3代入得a₄=a₃-3=1，
令n=4代入得a₅=a₄+4=5；
∴a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=1，a₅=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n₁=1，n₂=4，n₃=13，…，
猜想使ank=1的下标n_k满足如下递推关系：n_k+1=3n_k+1，k=1，2，3，…．
对k归纳：k=1，2时已成立，设已有ank=1，则由（Ⅰ）归纳可得，
ank+1=nk+1，ank+2=2nk+2，ank+3=nk，ank+4=2nk+3，…．
归纳易得：ank+2m-1=nk+2-m，m=1，2，…，nk+1，ank+2m=2nk+1+m，m=1，2，…，nk，
故当m=n_k+1时，a3nk+1=nk+2-(nk+1)=1=ank+1．
因此n_k+1=3n_k+1，（k=1，2，3，…）成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，n_k+1=3n_k+1，则2n_k+1=2（3n_k+1），
即2n_k+1+1=3（2n_k+1），记2n_k+1=x_k，
则x_k+1=3x_k，x₁=3，故xk=3k，因此nk=

3k-1

2

，k=1，2，3，…，
由n_k+1=3n_k+1，k=1，2，3，…可知，
当n≤3n_k=n_k+1-1时，a_n≤3n_k+1=n_k+1．
因此，当n＜n₇时，a_n≤n₇=

37-1

2

=1093；
而当n₇≤n＜n₈时，要么有a_n≤1094，要么有a_n≥2×1094，即a_n取不到2013，
进而考虑n₈≤n＜n₉的情况，
由（Ⅱ）得，ank+2m-1=nk+2-m，m=1，2，…，nk+1，
则n₈+2-m=2013，解得m=1269，解得n₈+2m-1=5817
故a5817=an8+2m-1=n8+2-m=2013．
故使得a_n=2013的最小n为5817．