【题目】蝴蝶定理因其美妙的构图,像是一只翩翩起舞的蝴蝶,一代代数学名家蜂拥而证,正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图,已知圆的方程为,直线与圆交于,,直线与圆交于,.原点在圆内.
(1)求证:.
(2)设交轴于点,交轴于点.求证:.
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【题目】已知为单位正方体,黑白两只蚂蚁从点出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”,白蚂蚁爬行的路线是,黑蚂蚁爬行的路线是,它们都遵循如下规则:所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数),设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两只蚂蚁的距离是______________.
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【题目】教育学家分析发现加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关,某校兴趣小组为了验证这个结论,从该校选择甲乙两个同类班级进行试验,其中甲班加强阅读理解训练,乙班常规教学无额外训练,一段时间后进行数学应用题测试,统计数据情况如下面的列联表(单位:人)
优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
甲班 | |||
乙班 | |||
总计 |
(1)能否据此判断有把握认为加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关?
(2)经过多次测试后,小明正确解答一道数学应用题所用的时间在分钟,小刚正确解答一道数学应用题所用的时间在分钟,现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题,求小刚比小明先正确解答完的概率;
(3)现从乙班成绩优秀的名同学中任意抽取两人,并对他们的答题情况进行全程研究,记两人中被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式:
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【题目】已知偶函数,当时,,当时,.关于偶函数的图象和直线的个命题如下:
①当时,存在直线与图象恰有个公共点;
②若对于,直线与图象的公共点不超过个,则;
③,,使得直线与图象交于个点,且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是( ).
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
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【题目】有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
总计 |
已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是( )
A. 列联表中的值为30,的值为35
B. 列联表中的值为15,的值为50
C. 根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”
D. 根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”
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【题目】在平面直角坐标系中,圆的圆心为.已知点,且为圆上的动点,线段的中垂线交于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,若四边形的四个顶点都在曲线上,对角线,互相垂直并且它们的交点恰为点,求四边形面积的取值范围.
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