Question

5．设点P（x，y）在椭圆4x²+y²=4上，则x+y的最大值为$\sqrt{5}$，最小值为$-\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意方程求得椭圆的参数方程，然后利用三角函数最值的求法得答案．

解答 解：由椭圆4x²+y²=4，得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
可设椭圆参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，
∴x+y=2sinθ+cosθ=$\sqrt{5}（\frac{2\sqrt{5}}{5}sinθ+\frac{\sqrt{5}}{5}cosθ）$
=$\sqrt{5}sin（θ+φ）$（tanφ=$\frac{1}{2}$）．
∴x+y的最大值为$\sqrt{5}$，x+y的最小值为-$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$，$-\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查了椭圆参数方程的应用，训练了三角函数的最值的求法，是中档题．