如图.某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a.救生员现在岸边的A处.发现海中的B处有人求救.救生员没有直接从A处游向B处.而是在AD上找到一点C.沿岸边从A处跑到C处.然后游到B处.若救生员在岸边的行进速度为4(m/s).在海水中的行进速度为2(m/s).∠BAD=45°.BD=200(m).救生员从A到C再到B的时间为y(s)．(1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a，救生员现在岸边的A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是在AD（D为海岸边距B最近的点）上找到一点C，沿岸边从A处跑到C处，然后游到B处，若救生员在岸边的行进速度为4（m/s），在海水中的行进速度为2（m/s），∠BAD=45°，BD=200（m），救生员从A到C再到B的时间为y（s）．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BCD=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
②设CD=x（m），将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定C点的位置，使救生员从A到C再到B的时间最短．

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）①利用三角函数知识表示出BC，CD，AC，可得y表示成θ的函数关系式；
②设CD=x（m），表示出BC，CD，AC，可得y表示成x的函数关系式；
（2）选用①，用导数知识求解即可．

解答： 解：（1）①BC=

200

sinθ

，CD=

200cosθ

sinθ

，AC=200-

200cosθ

sinθ

，所以y=

200-

200cosθ

sinθ

200

2sinθ

=50+50•

2-cosθ

sinθ

(

＜θ≤

)
②AC=200-x，BC=

2002+x2

，即y=

200-x

2002+x2

10000+

x+50(0≤x＜200)
（2）选用①，令f(θ)=

2-cosθ

sinθ

，f′(θ)=

sin2θ-(2-cosθ)cosθ

sin2θ

1-2cosθ

sin2θ

当θ∈(

，

]时，f'（θ）＜0，f（θ）为θ的单调递减函数；θ∈(

，

]时，f'（θ）＞0，f（θ）为θ的单调递增函数．
所以当θ=

时，f（θ）取得最小值，此时AC=200(1-

)．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

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