Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=

5

2

，|PQ|=

13

2

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ 的值，可得sin∠POQ，求出P的坐标可得A的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y=f（x） 的解析式．
（Ⅱ）求出g（x） 的解析式，化简h（x）=f（x）g（x） 的解析式为

1

2

sin（

2π

3

x-

π

6

）+

1

4

，再根据x的范围求出h（x） 的值域，从而求得h（x） 的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ=

OP 2+ OQ  2-  PQ  2

2| OP |•| OQ |

=

5

5

，…（2分）
∴sin∠POQ=

2 5

5

，得P点坐标为（

1

2

，1），∴A=1，

2π

ω

=4（2-

1

2

），∴ω=

π

3

． …（5分）
由f（

1

2

）=sin（

π

6

+φ）=1 可得 φ=

π

3

，∴y=f（x） 的解析式为 f（x）=sin（

π

3

x+

π

3

）．…（6分）
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得 g（x）=sin

π

3

x，…（7分）
h（x）=f（x）g（x）=sin（

π

3

x+

π

3

） sin

π

3

x=

1

2

sin2

π

3

x+

3

2

sin

π

3

xcos

π

3

x
=

1-cos 2π 3 x

4

+

3

4

sin

2π

3

x=

1

2

sin（

2π

3

x-

π

6

）+

1

4

．…（10分）
当x∈[0，2]时，

2π

3

x - 

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，
∴当

2π

3

x - 

π

6

 = 

π

2

，
即 x=1时，h_max（x）=

3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．