Question

设关于x的方程是x²－(tan＋i)x－(2＋i)＝0．

(1)若方程有实根，求锐角的实数根；

(2)证明对任意≠kπ＋(k∈Z)方程无纯虚数根．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设方程的实根为α，则α²－(tan＋i)α－(2＋i)＝0，即α²－tan·α－2－(α＋1)i＝0

　　∵α·tan∈R　∴

　　∴α＝－1且tan＝1

　　又＜＜，∴＝，α＝－1

　　(2)若方程有纯虚数根βi(β∈R，β≠0)则

　　(βi)²－(tan＋i)·βi－(2＋i)＝0．

　　∴－β²＋β－2＝0　　①

　　且－tan·β－1＝0　　②

　　由②得β＝－cot，代入①得cot²＋cot＋2＝0此方程Δ＝1－8＜0，∴cot为虚数，与cot∈R矛盾，假设不成立，∴原方程对于任意实数不可能有纯虚数根．