Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+（﹣1）n ，其中n∈N* ， a为常数．
（Ⅰ）当n=2，且a＞0时，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若a=1，对任意的正整数n，当x≥1时，求证：f（x+1）≤x．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，当n=2时，f（x）= +alnx，所以f′（x）= ，
当a＞0时，由f′（x）=0，得x1= ＞0，x2=﹣ ＜0，
此时f′（x）= ，
当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x1 ， +∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当a＞0时，f（x）在x1= 处取得极小值，极小值点为 ．
（Ⅱ）证：因为a=1，所以f（x）= +lnx，
当n为偶数时，令g（x）=x﹣ ﹣ln（x+1），
则g′（x）= + ，
∵x≥1，∴g′（x）＞0，
所以当x∈[1，+∞）时，g（x）单调递增，g（x）的最小值为g（1）．
因此：g（x）=x﹣ ﹣ln（1+x）=≥g（1）=1﹣ ﹣ln（1+1）≥1﹣ ﹣ln2＞0，
所以f（x+1）≤x成立．
当n为奇数时，
要证f（x+1）≤x，由于（﹣1）n ＜0，所以只需证ln（x+1）≤x，令h（x）=x﹣ln（x+1），
则h′（x）=1﹣ = ＞0，
当x∈[1，+∞）时，h（x）=x﹣ln（x+1）单调递增，又h（1）=1﹣ln2=ln ＞0，
所以当x≥1时，恒有h（x）＞0，命题ln（x+1）≤x成立，
综上所述，结论成立．
【解析】（Ⅰ）令n=2，求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（Ⅱ）a=1时，求出f（x）的导数，通过讨论n是奇数，偶数结合函数的单调性证明结论即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．