Question

（2012•广州一模）已知函数f(x)=tan(3x+

π

4

)．
（1）求f(

π

9

)的值；
（2）设α∈(π，

3π

2

)，若f(

α

3

+

π

4

)=2，求cos(α-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用两角和的正切公式求出f(

π

9

)的值．
（2）由条件利用诱导公式求出tanα=2，再利用同角三角函数的基本关系求出 cosα=-

5

5

，sinα=-

2 5

5

．再利用两角和的余弦公式求出cos(α-

π

4

)的值．

解答：解：（1）f(

π

9

)=tan(

π

3

+

π

4

)…（1分）=

tan π 3 +tan π 4

1-tan π 3 tan π 4

…（3分）=

3 +1

1- 3

=-2-

3

．…（4分）
（2）因为f(

α

3

+

π

4

)=tan(α+

3π

4

+

π

4

)…（5分）=tan（α+π）…（6分）=tanα=2．…（7分）
所以

sinα

cosα

=2，即sinα=2cosα．         ①
因为sin²α+cos²α=1，②
由①、②解得cos2α=

1

5

．…（9分）
因为α∈(π，

3π

2

)，所以cosα=-

5

5

，sinα=-

2 5

5

．…（10分）
所以cos(α-

π

4

)=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

…（11分）=-

5

5

×

2

2

+(-

2 5

5

)×

2

2

=-

3 10

10

．…（12分）

点评：本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．