Question

如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．

（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

Answer 1

分析：（1）先过S作SH⊥RT于H，则有：S_△RST=

1

2

SH•RT，由题意知：△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离，RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，建立不等关系：RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．从而得出场地面积的最大值即可；
（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，写出等腰梯形ABCD面积的表达式，再利用导数求得其极大值也是最大值即可．

解答：解：（1）如下右图，
过S作SH⊥RT于H，
S_△RST=

1

2

SH•RT．（2分）
由题意，△RST在月牙形公园里，
RT与圆Q只能相切或相离；（4分）
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
则有RT≤4，SH≤2，
当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
此时，场地面积的最大值为S_△RST=

1

2

×4×2=4（km²）．（6分）
甲图乙图
（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，则
S_ABCD=

1

2

（AD+BC）×2sinθ=

1

2

（4+2×2cosθ）×2sinθ．
=4（sinθ+sinθcosθ）…（8分）
令y=sinθ+sinθcosθ，则
y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ（-sinθ）=2cos²θ+cosθ-1．（11分）
若y'=0，cosθ=

1

2

，θ=

π

3

，
又θ∈(0，  

π

3

)时，y'＞0，θ∈(

π

3

，  

π

2

)时，y'＜0，（14分）
函数y=sinθ+sinθcosθ在θ=

π

3

处取到极大值也是最大值，
故θ=

π

3

时，场地面积取得最大值为3

3

（km²）．（16分）

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型．解题的关键是利用三角函数这个数学模型，建立函数关系式，最后利用导数知识求最值．