如图.A处建有一个补给站.在A正西120海里处有一个港口B.一艘科考船从B出发.沿北偏东30°的方向.以20海里/小时的速度驶离港口．同时一艘为科考船运送补给的快艇从A出发.沿北偏西30°的方向.以60海里/小时的速度行驶.1小时后补给船行驶至C处.发生故障停留了1小时．快艇为在最短时间内将补给送到科考船.在C处调整� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，A处建有一个补给站，在A正西120海里处有一个港口B，一艘科考船从B出发，沿北偏东30°的方向，以20海里/小时的速度驶离港口．同时一艘为科考船运送补给的快艇从A出发，沿北偏西30°的方向，以60海里/小时的速度行驶，1小时后补给船行驶至C处，发生故障停留了1小时．快艇为在最短时间内将补给送到科考船，在C处调整航向后继续以60海里/小时的速度直线行驶，恰好与科考船在D处相遇，求相遇时科考船共行驶了多少小时．

分析：先求AC，BC=60

，∠DBC=30°，再在△BDC中，由余弦定理建立方程，从而可求相遇时科考船共行驶的时间．

解答：

解：∵从A到C快艇行驶1小时，∴AC=60．
又∠CAB=60°，AB=120，∴∠BCA=90°．
∴∠CAB=30°，BC=60

．
∴∠DBC=30°．
设相遇时科考船共行驶了t小时，则BD=60t，DC=60（t-2）．
在△BDC中，由余弦定理得[60(t-2)]2=(60

)2+(20t)2-2×60

×20t，
∴8t²-27t+9=0，∴（8t-3）（t-3）=0，
∴t=3或t=

．
又t≥2，∴t=3．
答：相遇时科考船共行驶了3小时．

点评：本题考查利用余弦定理解决三角形问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用余弦定理，建立方程．

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①求V的最大值；
②记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当V取最大值时，求cosθ的值；
③当V取最大值时，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁内（包括边界）的动点P到直线B₁C₁的距离等于它到直线AC的距离，求动点P到点C距离|PC|的最值．

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（I）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）设AB=AA₁，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P．
（i）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（ii）记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°≤θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．

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