Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示：

（I）求证：PA⊥BD；
（II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由三视图确定直观图的形状，利用线面垂直的判定方法，证明BD⊥平面PAC，即可证得结论；
（II）先确定直线OQ与平面ABCD所成的角，再判断出DP⊥OQ，进而可得结论．

解答：（I）证明：由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA=PB=PC=PD，
连接AC、BD交于点O，连接PO．     …（2分）
因为BD⊥AC，BD⊥PO，AC∩PO=O
所以BD⊥平面PAC，…（4分）
因为PA?平面PAC
所以BD⊥PA．      …（6分）
（II）解：由三视图可知，BC=2，PA=2

2

，假设存在这样的点Q，
因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为直线OQ与平面ABCD所成的角   …（8分）
在△POD中，PD=2

2

，OD=

2

，则∠PDO=60°，
在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°，所以DP⊥OQ．       …（10分）
所以OD=

2

，QD=

2

2

．
所以

DQ

DP

=

1

4

．      …（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．