Question

已知函数f（x）=

cos2x

sin( π 4 -x)

．
（I）化简函数f（x）的解析式，并求其定义域和单调区间；
（Ⅱ）若f（α）=

4

3

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（I）化简函数f（x）的解析式2sin（x+

π

4

），由题意可得sin（x-

π

4

）≠0，故x-

π

4

≠kπ，由此求得定义域．由
2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z求出函数的增区间；由 2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z 求出函数的减区间．
（Ⅱ）由于 f（α）=2（cosα+sinα）=

4

3

，可得cosα+sinα=

2

3

，由此求得 sin2α 的值．

解答：解：（I）函数f（x）=

cos2x

sin( π 4 -x)

=

cos2x-sin2x

2 2 (cosx-sinx)

=

2

（cosx+sinx）=2 sin（x+

π

4

）．
由题意可得sin（x-

π

4

）≠0，故x-

π

4

≠kπ，故定义域为{x|x≠kπ+

π

4

，k∈z}．
由 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈z，
故函数的增区间为 （ 2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

），k∈z．
由 2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈z，
故函数的减区间为（ 2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

），k∈z．
（Ⅱ）∵f（α）=2（cosα+sinα）=

4

3

，∴cosα+sinα=

2

3

，求得 sin2α=（cosα+sinα）²-1=-

5

9

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的定义域和值域、余弦函数的单调性的应用，属于中档题．