Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x{e^x}（x＜0）\\-2x（x≥0）\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则m的取值范围是（-$\frac{1}{e}$，0）．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=m有3个不同实数根．画出函数f（x）的图象，通过图象即可得到所求m的范围．

解答 解：函数g（x）=f（x）-m有3个零点，
即为f（x）=m有3个不同实数根．
当x≥0时，f（x）=-2x≤0；
当x＜0时，f（x）=xe^x，导数f′（x）=（1+x）e^x，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）在x＜0时由最小值，且为-$\frac{1}{e}$．
画出f（x）的图象，可得
当-$\frac{1}{e}$＜m＜0，函数f（x）和直线y=m有3个交点，
函数g（x）=f（x）-m有3个零点．
故答案为：（-$\frac{1}{e}$，0）．

点评 不同考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想，考查数形结合思想方法，属于中档题．