Question

【题目】在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.

（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；

（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第个等边圆柱的底面半径为，其外接圆锥的底面半径为，高为，则其体积，进一步求得第个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；

（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的可得与的关系，则答案可求．

（1）证明：如图，

设圆锥的底面半径为，高为，内接等边圆柱的底面半径为，

则由三角形相似可得：，可得．

其体积．

设第个等边圆柱的底面半径为，其外接圆锥的底面半径为，高为，

则其体积，

再设第个等边圆柱的底面半径为，则其外接圆锥的底面半径为，

高为，

则第个等边圆柱的体积．

为定值，

则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以为首项，以为公比的等比数列；

（2）解：原来圆锥的体积为，

这些等边圆柱的体积之和为．

由，得，

．

则最大的等边圆柱的体积为，圆锥的体积为，体积之比为．