Question

（1）计算：C_2n^16-n+C_13+n³ⁿ；（2）解关于x的不等式：C₈^x•A_x^x＜6A₈^x-2．

Answer 1

分析：（1）根据组合数的性质，有2n≥16-n且13+n≥3n；解可得n的取值范围，结合n是整数，可得n的值为6，代入组合数公式中计算可得答案；
（2）首先由排列、组合的性质可得，x≤8或1≤x-2≤8，解可得3≤x≤8；再运用排列、组合公式可将原不等式化简整理变形为x²-19x+84＜0，解可得x的范围，结合由组合数性质得到的x的范围，取交集可得答案．

解答：解：（1）根据组合数的性质，有2n≥16-n且13+n≥3n；
解可得

16

3

≤n≤

13

2

，
又由n是整数，则n=6；
则原式=C₁₂¹⁰+C₁₉¹⁸=66+19=85；
（2）首先由排列组合的性质可得，x≤8或1≤x-2≤8，解可得3≤x≤8；
原不等式可化为

8!

x!×(8-x)!

×x!＜6×

8!

(10-x)!

；
化简可得：

1

(8-x)!

＜6×

1

(10-x)!

；
即（10-x）（9-x）＜6，
整理可得：x²-19x+84＜0，
解可得7＜x＜12；
又由x的范围，可得x=8；
故x=8

点评：本题考查排列、组合数的公式，解题时需注意排列．组合数公式中上下标的关系与取值范围的限制．